Question

如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

     （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

 

Answer 1

解：

（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE．…………………2分

（2）（1）中的结论仍然成立．

如图2，连结CF，延长EF交CB于点G．

∵ 

∴ DE∥BC．

∴∠EDF=∠GBF．

又∵，DF=BF，

∴ △EDF≌△GBF．

∴ EF=GF，BG＝DE＝AE．

∵ AC=BC， 

∴ CE=CG．

∴∠EFC=90°，CF=EF．

∴ △CEF为等腰直角三角形．

∴∠CEF=45°．

∴CE=FE………………………………………………5分

（3）（1）中的结论仍然成立．

如图3，取AD的中点M,连结EM，MF,取AB的中点N,连结FN，CN，CF．

∵DF=BF，

∴

∵AE=DE，∠AED=90°,

∴AM=EM，∠AME=90°.

∵CA=CB,∠ACB=90°,

∴，∠ANC=90°.

∴，FM=AN =CN.

∴四边形MFNA为平行四边形.

∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA.

∴∠EMF=∠FNC.

∴△EMF≌△FNC.

∴FE = CF，∠EFM=∠FCN.

由，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°.

∴∠FCN＋∠PFC=90°.

∴∠EFM＋∠PFC=90°.

∴∠EFC=90°.

∴ △CEF为等腰直角三角形．

∴∠CEF=45°.

∴ CE=FE．……………………………………………8分

图1

图2