Question

圆周上有12个点，其中有一个是涂了红色，还有一个是涂了蓝色，其余10个是没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形，只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形．试问以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数哪一种多？多多少？

Answer 1

分析：分析考察双色n（n≥5）边形和去掉红、蓝两个顶点后得到的无色n-2边形的个数之间的关系．

解答：解：对于任何一个双色n（n≥5）边形，显然去掉红、蓝顶点后，得到一个无色n-2边形，
不同的双色n边形去掉红蓝顶点后，得到的是不同的无色n-2边形．
反过来，对任一无色多边形，添上红蓝顶点后，总可以得到一个双色多边形，
由此可知，无色多边形（从三角形到十边形）的个数与双色多边形（从五边形到十二边形）的个数相等．
因此，双色多边形的个数多，多出来的数目恰是双色三角形和双色四边形的数目．
双色三角形有10个．
双色四边形有

1

2

×10×9=45个．
这是由于每对应一个双色三角形，可以有九个双色四边形，而在90个双色四边形中，两两相重，故只有45个双色四边形．
∴双色多边形比无色多边形多55个．

点评：此题注重逻辑推理，根据双色多边形与无色多边形的个数之间的关系推知二者个数相等是解题的关键一步．