Question

设抛物线y=x²+（2a+1）x+2a+

5

4

的图象与x轴只有一个交点，则a¹⁸+323a^-6的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：利用函数与一元二次方程的结合点：抛物线与x轴只有一个交点等价于△=0，由此可以求得a²-a-1=0；然后利用韦达定理和完全平方和公式a²+b²=（a+b）²-2ab，接下来用了立方和公式，提公因式，用a12+

1

a12

来表示所求的代数式．这种各种公式共同应用的题比较常见．

解答：解：∵抛物线y=x²+（2a+1）x+2a+

5

4

的图象与x轴只有一个交点，
∴∴△=（2a+1）²-4×1×（2a+

5

4

）=0，即a²-a-1=0，
∵a≠0，
∴a-

1

a

=1，
a²+

1

a2

=（a-

1

a

）²+2
=3，
a⁴+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2
=7，
a⁸+

1

a8

=（a⁴+

1

a4

）²-2
=47，
a¹²+

1

a12

=（a⁴+

1

a4

）（a⁸+

1

a8

-1）
=7×（47-1）
=322，
a¹⁸+323a^-6
=（a¹⁸+

1

a6

）+

322

a6

=a⁶（a¹²+

1

a12

）+

322

a6

=322a⁶+

322

a6

=322（a⁶+

1

a6

），
a⁶+

1

a6

=（a²+

1

a2

）（a⁴+

1

a4

-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a⁶+

1

a6

）=322×18=5796．
即a¹⁸+323a^-6的值为5796．
故答案是：5796．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），在计算中要灵活运用完全平方公式和立方和公式，计算较复杂，要注意计算能力的培养．