Question

若⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁和⊙O₂的半径分别为2和，公共弦长为2，∠O₁AO₂的度数为________．

Answer 1

105°或15°
分析：连接AB、O₁O₂，两线段交于点C，由垂径定理可得：O₁O₂⊥AB且平分AB，再解Rt△O₁CA、Rt△O₂CA，可得∠O₁AC、∠O₂AC，即可求得∠O₁AO₂的度数．
解答：解：连接AB、O₁O₂，两线段交于点C，如图1所示：
①∵AB为两圆的交线，O₁O₂为两圆圆心的连线，
∴O₁O₂⊥AB且平分AB；
∵已知O₁A=2，O₂A=，AB=2，
∴在Rt△O₁CA中，cos∠O₁AC=，
∴∠O₁AC=60°；
在Rt△O₂CA中，cos∠O₂AC=，
∴∠O₂AC=45°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=105°，
②如图1所示：
同理可得：∴∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC=15°，
故此题应该填105°或15°．
点评：本题主要考查了相交圆的性质及直角三角形的性质，熟练掌握两圆相交的性质是解答的关键，希望同学们熟练掌握．