Question

下面我们来定义一个数学概念．平面区域的平分线：一条曲线围成的平面区域．连接边界两点的一条曲线，如果把平面区域分成面积相等的两部分，则称其为区域的平分线．（注意：直线段、折线都视为曲线．）
我们可以求得边长为1的等边△ABC三条平分线：等边三角形的高、平行于边的线段和圆心在顶点的

1

6

圆周，它们的长度分别为

3

2

、

2

2

和

π 4 3

．如图．

请解答下面的问题：给定一个边长为1的正方形ABCD，如图．
（1）指出与例子类似的三条平分线；
（2）求出你指出的三条平分线的长度；
（3）比较这三条平分线长度的大小．

Answer 1

分析：（1）正方形的对角线，过中心且平行于边的线段，以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆周这三条弧线，
（2）正方形的对角线，过中心且平行于边的线段的长度易求，以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆周这三条弧线根据弧长公式求出，
（3）直接作比较即可．

解答：解：（1）正方形的对角线，过中心且平行于边的线段，以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆周．（3分）
（2）前两条平分线的长分别是

2

和1．（5分）
下面求第三条平分线的长度：
设圆的半径为x，则

1

4

πx2=

1

2

，得x=

2 π

，所以四分之一圆周长为

π 2

．（8分）
（3）因为4＞π，所以

2

＞

π 2

＞1
所以，正方形的对角线长＞以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆弧长＞过中心且平行于边的线段长．（11分）

点评：本题主要考查弧长的计算和正方形的性质，此题很新颖，但不是很难．