Question

9．如图．点C是线段AB上一点，点M．N分别是线段AC、BC的中点．
（1）若线段AC=6，BC=4，求线段MN的长；
（2）若AC+BC=a，求线段MN的长；
（3）题目中“点C是线段AB上”，若改为“点C是直线AB上”，（1）中结果会变吗？若有变．请求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出CM、CN的长度，则MN=CM+CN；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，所以MN=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{a+b}{2}$；
（3）长度会发生变化，分点C在线段AB上、点B在A、C之间和点A在B、C之间三种情况讨论．

解答 解：（1）∵AC=6，点M是AC的中点
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=3cm
∵BC=4，点N是BC的中点
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴MN=CM+CN=5，
∴线段MN的长度为5．

（2）MN=$\frac{a+b}{2}$．

（3）线段MN的长度会变化．
当点C在线段AB上时，由（2）知MN=$\frac{a+b}{2}$，
当点C在线段AB的延长线时，如图1：

则AC=a＞BC=b，
∵AC=a点M是AC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
∵BC=b点N是BC的中点
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b，
∴MN=CM-CN=$\frac{a-b}{2}$，
当点C在线段BA的延长线时，如图2：
，
则AC=a＜BC=b
同理可求：CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b，
∴MN=CN-CM=$\frac{b-a}{2}$，
综上所述，线段MN的长度会变化，MN=$\frac{a+b}{2}$，$\frac{a-b}{2}$，$\frac{b-a}{2}$．

点评 本题主要是线段中点的运用，分情况讨论是解题的难点，难度较大．