Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．
（Ⅰ）求证：PC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠CAB=30°，⊙O的半径为2，求劣弧

AC

的长度．

Answer 1

分析：（1）连接OC，则∠PAO=90°，根据角平分线定义得∠AOP=∠COP，可证明△PAO≌△PCO，则∠PCO=∠PAO，则可得出PC是⊙O的切线．
（2）由等边对等角得∠CAB=∠OCA，根据弧长公式可得出答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵PA⊥AB，∴∠PAO=90°
∵PO平分∠AOC，∴∠AOP=∠COP，
∴△PAO与△PCO中有，OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO，
即PC是⊙O的切线．

（2）解：∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA=30°，
∴∠AOC=180°-（∠CAB+∠OCA）=120°．
∴劣弧

AC

的长=

120π×2

180

=

4

3

π．

点评：本题考查了弧长的计算、切线的判定以及全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．