Question

【题目】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）证明：点E是OB的中点；

（2）若AB=8，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．

（1）证明：连接AC，如图

∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8
∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE＝，
∴CD＝2CE＝．