Question

如图6，在四边形中，，平分，，．

（1）求证：四边形是等腰梯形；                             （6分）
（2）取边的中点，联结．求证：四边形是菱形．     （6分）

Answer 1

见解析

证明：（1）∵，∴ 
∵平分，
∴
∴ ，
∴∥                                                       （2分）
在中，，
∴,
∴                                                    （1分）
∴，
∴ ………………（1分）
∵
∴与不平行，                                               （1分）
∴四边形是等腰梯形．                                        （1分）
证明：（2）∵，，
∴                                                       （1分）
在中，，
∴,                                               （1分）
∴，
∵∥                                                      （2分）
∴四边形是平行四边形                                       （1分）
∵
∴四边形是菱形．                                            （1分）
（1）由等腰三角形的性质、角平分线的性质利用等量代换可以推知内错角∠DCA=∠CAB，利用平行线的判定定理可以证得CD∥AB；然后由直角三角形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形 判定定理知AD=BC；最后由等腰梯形的判定定理证得结论；
（2）根据菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形是菱形）知，欲证四边形DEBC是菱形，首先证明四边形DEBC是平行四边形，然后结合（1）知邻边CD=BC