题目内容

将边长分别为 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、…的正方形的面积分别记作S₁、S₂、S₃、S₄，…，计算S₂-S₁，S₃-S₂，S₄-S₃，…．若边长为 $数学公式$ （n为正整数）的正方形面积记作S_n，根据你的计算结果，猜想S_n-S_n-1=________．（用含n的式子表示）

4n-2
分析：正方形的面积是边长的平方，我们先暂不考虑 $\text{[math]}$ ，它们相邻面积的差就是 $\text{[math]}$ 的“系数”的平方差，由此规律解决问题．
解答：S₂-S₁=（2 $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ ）²=2×（2²-1²）=6；
S₃-S₂=（3 $\text{[math]}$ ）²-（2 $\text{[math]}$ ）²=2×（3²-2²）=10；
S₄-S₃=（4 $\text{[math]}$ ）²-（3 $\text{[math]}$ ）²=2×（4²-3²）=14；
…
S_n-S_n-1=（n $\text{[math]}$ ）²-[（n-1） $\text{[math]}$ ]²=2×[n²-（n-1）²]=4n-2．
故答案为：4n-2．
点评：此题主要考查了利用数据以及正方形的面积计算发现数据之间的规律，利用规律解决问题．

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