题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，- $数学公式$ ）．
（1）求该抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S_△POA=2S_△AOB．

解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，- $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故函数解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x，

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2 $\text{[math]}$ ，
代入函数解析式得：2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x，
解得：x₁=3+3 $\text{[math]}$ ，x₂=3-3 $\text{[math]}$ ，
即满足条件的点P有两个，其坐标为：P₁（3+3 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），P₂（3-3 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，- $\text{[math]}$ ）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2 $\text{[math]}$ ，代入函数解析式可得出点P的横坐标．
点评：此题考查了二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求函数解析式，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．