Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的点，PA切于⊙O于点A，PA=PC，∠BAC=30°，
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为1，求PC的长（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）连接PO，OC，根据SSS证△PAO≌△PCO，推出∠PCO=∠PAO=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）连结BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=

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．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=

3

．

解答：（1）证明：连接OC、OP，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
在△PAO和△PCO中

OA=OC OP=OP PA=PC

∴△PAO≌△PCO（SSS），
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∵OC为半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：如图，连结BC，
∵AB是直径，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=

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，
∵∠PAC=90°-30°=60°，PA=PC，
∴△PAC是等边三角形，
∴PA=AC=

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．

点评：着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点的运用是关键，难度适中．