Question

已知：如下图，在平面直角坐标系中，点M在x轴的负半轴上，以M为圆心画半圆，交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C，过C作半圆M的切线CP，交x轴于P，若AO∶OB=4∶1，PC＋PA=12cm，

(1)求OC的长；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点E，使以A，O，E为顶点的三角形与△POC相似，如果存在，求图像经过A，E两点的一次函数解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连结AC、BC，因为AB为直径， 　　所以AC⊥BC，又CO⊥AB，△AOC∽△ACB， 　　所以=AO·AB， 　　同理可证=BO·AB， 　　 　　因为PC切圆M于C，所以∠BAC=∠PCB，又∠APC为公共角，所以△PAC∽△PCB，，即PA=2PC， 　　由已知，PC＋PA=12cm，所以PC＋2PC=12cm，3PC=12cm，PC=4cm，PA=8cm． 　　由切割线定理，有=PB·8，PB=2cm，AB=PA－PB=8－2=6cm． 　　因为AO∶OB=4∶1，所以OB=cm，AO=cm，又=AO·OB，所以OC=cm． 　　(2)设点E存在，若∽△POC， 　　 　　所以=cm，即点(0，－)，点A(－，0)，设直线的解析式为y=kx＋b， 　　则有 　　所以所求一次函数解析式为 　　 　　这时点(0，－)，可求得的解析式为y 　　所以符合条件的点E存在，有两个，所求一次函数解析式为y=－x－或y=－