Question

    已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC

  和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．

    (1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；

    (2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：本题考查了三角形全等的判断和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定理，轴对称性质，三角形四边形内角和，线段的垂直平分线性质

要求较高的视图能力和证明推理能力。

分析：（1）连接FE、FC，先证△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通过四边形ABEF与三角形AEF内角和导出；（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通过△AGF∽△DGA，导出GD=a，FD=a，过点F作FQ∥ED交AE于Q，通过BE∥AD德线段成比例设EG=2kBG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，从而FM=FN本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、平行线分线段成比例定理等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段比，注意不要出错

解答：(1)证明：如图1  连接FE、FC  ∵点F在线段EC的垂直平分线上

    ∴．FE=FC    ∴∠l=∠2   ∵△ABD和△CBD关于直线BD对称．∴AB=CB ∠4=∠3    BF=BF

    ∴△ABF≌ACBF  ∴∠BAF=∠2    FA=FC  ∴FE=FA    ∠1=∠BAF．  ∴∠5=∠6  ∵ ∠l+∠BEF=180⁰∠BAF+∠BEF=180⁰

   ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰    ∴．∠AFE+∠ABE=180⁰    又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰    ∴∠5+∠6=∠3+∠4    ∴∠5=∠4

即∠EAF=∠ABD

(2)FM=FN     证明：如图2  由(1)可知∠EAF=∠ABD

  又∵∠AFB=∠GFA  ∴△AFG∽△BFA

  ∴∠AGF=∠BAF

     又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF

 

  又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG

 ∴∠MBG=∠BMG   ∴BG=MG

∵AB=AD  ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．∵AF=AD

设GF=2a AG=3a．∴GD=a

∴FD==a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB

∴．∠CBD=∠ADB∴BE／／AD．∴

设EG=2k∴BG=MG=3k  过点F作FQ∥ED交AE于Q

∴

∴GQ=EG=． MQ=3k+=

∵FQ∥ED∴FM=FN