Question

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．
（1）求本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的利润比上一年有所增加，投入成本增加的比例应在什么范围？

Answer 1

分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．

解答：解：（1）由题意得
y=[1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1），
整理得y=-60x²+20x+200（0＜x＜1）．

（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，
当且仅当

y-(1.2-1)×1000＞0  0＜x＜1.

，
即

-60x2+20x＞0  0＜x＜1.

，
解不等式得 0＜x＜

1

3

．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜

1

3

．（12分）

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，培养同学们运用数学知识解决实际问题的能力．