Question

如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，连接AB，且PA、PB的长是方程x2-2

3

x+3=0的两根，AB=

3

，OP=2，求：
（1）PA、PB的长；
（2）∠APB的度数；
（3）⊙O的半径；
（4）由PA、PB、

AB

围成图形（即阴影部分）的面积．

Answer 1

分析：（1）解关于x的一元二次方程即可得到PA、PB的长度；
（2）根据边的长度可得PA=PB=AB，然后判定△PAB是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°即可得解；
（3）利用勾股定理列式计算即可求出OA的长，即圆的半径；
（4）先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APO=30°，再求出∠AOP=60°，从而得到∠AOB=120°，然后根据阴影部分的面积=四边形OAPB的面积-扇形OAB的面积，列式计算即可得解．

解答：解：（1）解方程x2-2

3

x+3=0得：x₁=x₂=

3

，
所以PA=PB=

3

；

（2）∵PA=PB=AB=

3

，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°；

（3）连接OA，∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵PA=

3

，OP=2，
∴OA=

OP2-PA2

=

22-( 3 )2

=1，
∴⊙O的半径为1；

（4）由OA=1，OP=2知OA=

1

2

OP，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_阴=S_{四边形OAPB}-S_扇形OAB=2S_△AOP-S_扇形OAB=2×

1

2

×1×

3

-

120π×12

360

=

3

-

1

3

π．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，阴影部分的面积的求解，比较简单．