题目内容
在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2个正方形的面积为| 45 |
| 4 |
| 45 |
| 4 |
5×(
)4020
| 3 |
| 2 |
5×(
)4020
．| 3 |
| 2 |
分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，得出
=
=
，求出AB，BA1，求出边长A1C=
，求出面积即可；求出第3个正方形的边长是(
)2
，面积(
)2；第4个正方形的面积是[(
)2]2×(
)2；依此类推得出第2011个正方形的边长是(
)2011-1
，面积是[(
)2010]2×(
)2，即可得出答案．
| BA1 |
| AB |
| OA |
| OD |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴
=
=
，
∵AB=AD=
=
，
∴BA1=
，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=
，面积是(
)2=(
)2×(
)2=
×5=
；
同理第3个正方形的边长是
+
=
=(
)2
，面积是：(
)2=
；
第4个正方形的边长是(
)3
，面积是[(
)3]2×(
)2；
…
第2011个正方形的边长是(
)2011-1
，面积是[(
)2010]2×(
)2=5×(
)4020．
故答案为：
，5×(
)4020．
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴
| BA1 |
| AB |
| OA |
| OD |
| 1 |
| 2 |
∵AB=AD=
| 22+12 |
| 5 |
∴BA1=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 45 |
| 4 |
同理第3个正方形的边长是
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
| 405 |
| 16 |
第4个正方形的边长是(
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
…
第2011个正方形的边长是(
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
故答案为：
| 45 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
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