Question

如图，已知直线y=-x+2与抛物线y=a （x+2）²相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l²与x之间的 函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，-x+2），根据勾股定理求出x即可；
（3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到x²+2x+8=x²+（-x+2-2）²，求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．
解答：解：（1）A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y=（x+2）²．

（2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，
过点P作PD⊥x轴于点D，
设P的坐标是（x，-x+2），则在Rt△PDM中，
PM²=DM²+PD²
即l²=（-2-x）²+（-x+2）²=x²+2x+8，
自变量x的取值范围是：-5＜x＜0，
答：l²与x之间的函数关系是l²=x²+2x+8，自变量x的取值范围是-5＜x＜0．

（3）存在满足条件的点P，
连接AM，由题意得，AM==2，
①当PM=PA时，x²+2x+8=x²+（-x+2-2）²，
解得：x=-4，
此时y=-×（-4）+2=4，
∴点P₁（-4，4）；
②当PM=AM时，x²+2x+8=（2）²，
解得：x₁=-    x₂=0（舍去），
此时y=-×（-）+2=，
∴点P₂（-，），
③当PA=AM时，x²+（-x+2-2）²=（2）²，
解得：x₁=-    x₂=（舍去），
此时y=-×（-）+2=，
∴点P₃（-，），
综上所述，满足条件的点为：
P₁（-4，4）、P₂（-，）、P₃（-，），
答：存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标是（-4，4）或（-，）或（-，）．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，求出符合条件的所有情况是解此题的关键．