Question

25、如图，已知AB=AC，∠A=36°，线段AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论：
①△BCD是等腰三角形；②△ABC∽△BDC；③点D是线段AC的黄金分割点．
请你从以上结论中只选一个

③

加以证明．（友情提醒：证明①得8分，证明②得10分，证明③得12分）．

Answer 1

分析：由于MN是AB的中垂线，那么AD=BD，于是∠A=∠ABD=36°，利用三角形外角性质可得∠BDC=2∠A=72°，而AB=AC，∠A=36°，易求∠ABC=∠ACB=72°，从而有∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，可证△ABC∽△BDC，于是AB：BD=BC：DC，又BD=AD=BC，AB=AC，等量代换可得AD²=DC•AC．

解答：证明：如右图所示，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BD=BC：DC，
又∵BD=AD=BC，AB=AC，
∴AD²=DC•AC．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．解题的关键是求出∠BDC，并证明△ABC∽△BDC．