Question

如图，在⊙O中，弦AB=cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为________cm．

Answer 1

2
分析：过O作OC垂直于AB，根据垂径定理可得C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，又OA=OB，OC垂直于AB，根据三线合一得到OC为角平分线，根据∠AOB的度数求出∠AOC的度数为60°，根据直角三角形的两锐角互余可得∠A=30°，可设OC为xcm，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2xcm，再由AC的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，可得出AB的长，即为圆的半径．
解答：过O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示：

∵OC⊥AB，且AB=2cm，
∴AC=BC=AB=cm，
又∵OA=OB，OC⊥AB，
∴OC为∠AOB的平分线，∠AOB=120°
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=60°，
∴∠A=30°，
设OC=xcm，则有OA=2xcm，
根据勾股定理得：AC²+OC²=OA²，即3+x²=4x²，
解得：x=1，或x=-1（舍去），
则半径OA=2x=2cm．
故答案为：2．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，利用了方程的思想，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．