Question

如图1所示的纸杯，经测量（接缝处忽略不计），纸杯的杯口直径为7cm，底面直径为cm，母线长为8cm，该纸杯的侧面展开如图2所示，
（1）求纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径OA的长；
（2）若一只小虫从纸杯底面的点C出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点A．求小虫爬行的最短路程．（精确到1cm）
（3）请你设计一种方案，在一张矩形纸片上能够剪出该纸杯的侧面，并求出你所设计的矩形的面积，要求：尽可能小．（精确到1cm）

Answer 1

【答案】分析：（1）设∠O的度数是n，根据弧长公式得出7π=，=，求出OA和n即可；
（2）沿CA剪开，得出扇形AOA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程，过C作CE⊥OA′于E，求出CE和OE，求出A′E，根据勾股定理求出CA′即可；
（3）展开得出梯形ABCD，求出AB就是矩形的长，再求出梯形的高就是矩形的宽，根据面积公式求出即可．
解答：解：（1）设∠O的度数是n，
则7π=，=，
解得：OA=42，n=30°；
（2）在图2中，沿CA剪开，得出扇形AOA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程，
过C作CE⊥OA′于E，
在Rt△COE中，OC=34，∠O=30°，
∴CE=17，OE=17，
∴A′E=42-17，
在Rt△CEA′中，CA′=≈21cm，
（3）此方案设计的矩形的长约为21cm，宽约为10cm，面积为21×10=210（cm²）
点评：本题考查了平面展开-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点的综合运用．