Question

如图，点P，Q，R分别在△ABC的边上AB、BC、CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，那么，△ABC面积的最大值是

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

B
分析：首先，若以Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别记△APR，△BPQ，△CRQ，△PQR，利用三角形内角和定理，求证：h₂≤h₁（h₁，h₂分别为△QRP，△APR公共边PR上的高．因若作出△PQR关于PR的对称图形PQ′R，这时Q′，A都在以PR为弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ′=Q′R，所以Q′为这弧中点，故可得出h₂≤h₁）．最后，当AB=AC-2，∠A=90°时，即可得出△ABC面积的最大值．
解答：解：首先，若以Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别记△APR，△BPQ，△CRQ，△PQR，
则S_Ⅱ，S_Ⅲ，S_Ⅳ均不大于．
又∵∠PQR=180°-（∠B+∠C）=∠A，
∴h₂≤h₁（h₁，h₂分别为△QRP，△APR公共边PR上的高，因若作出△PQR关于PR的对称图形PQ′R，这时Q′，A都在以PR为弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ′=Q′R，所以Q′为这弧中点，故可得出h₂≤h₁）．
从而S₁≤S_Ⅳ≤，这样S_△ABC=S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ+S_N≤
最后，当AB=AC-2，∠A=90°时，
S_△ABC=2即可以达到最大值2．
故选B．
点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，但此题涉及的知识点较多，尤其是涉及到弧、弦、对称图形，是一道难题．