Question

已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q、E同时从B点出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段BC向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段BA向点A运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接CQ、EQ，求△CQE的最大面积；

（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为

（2，0），问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简明说明理由．

Answer 1

解：由题意，得         ---------1分

解得所求抛物线的解析式为：．      --------2分

（2）由题意得，，过点作轴于点．由，得点的坐标为． -------3分

．． -----4分

．又∵，

当时，有最大值． ----------------5分

（3）存在．在中．（ⅰ）若，，．又在中， ．点的坐标为．由，得，．此时，点的坐标为：或．----------------7分

（ⅱ）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得： ．

由，得点的坐标为：或．----------------8分

（ⅲ）若，∵，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：

或或或     ----------------9分