题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C，此抛物线的对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求点C坐标以及该抛物线的关系式；
（2）连接AC，在x轴下方的抛物线上有点D，使S_△ABD=S_△ABC，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）把A（-1，0）、B （3，0）代入y=ax²+bx+3得：
$\text{[math]}$ ，

解得： $\text{[math]}$ ，
∴二次函数式为y=-x²+2x+3，
设x=0，则y=3，所以C的坐标是（0，3）；
（2）由（1）可知设D的坐标为（x，-x²+2x+3），
∵AB=4，OC=3，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×4×3=6，
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴ $\text{[math]}$ •AB•|-x²+2x+3|=6，
∵D在x轴下方的抛物线上，
∴D的坐标是（1± $\text{[math]}$ ，3）；

（3）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则顶点P（1，4），共分两种情况，如图1：

①由B、C两点坐标可知，直线BC解析式为y=-x+3，
设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b，
将点P（1，4）代入，得y=-x+5．
则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，
即可得：-x²+2x+3=-x+5，
解：x=1或x=2，
代入直线则得点（1，4）或（2，3）．
已知点P（1，4），
所以点Q（2，3）．
②由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，
设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y=-x+c，
将P′代入，得y=-x+1．
联立 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
故可得存在Q它的坐标为（2，3）或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
（4）由（2）可得：M（1，2），如图2：
由点M，P的坐标可知点R存在，即过点M平行于x轴的直线，

则可得-x²+2x+3=2，
解得x₁=1- $\text{[math]}$ （在对称轴的左侧，舍去），x₂=1+ $\text{[math]}$ ，
即点R（1+ $\text{[math]}$ ，2）．
分析：（1）把A（-1，0）、B （3，0）两点的坐标代入y=ax²+bx+3即可求出a和b的值，进而求出抛物线的解析式，设x=0可求出C点的坐标；
（2）由（1）可知设D的坐标为（x，-x²+2x+3），由已知条件易求S_△ABC，并且△ABD的高为D的纵坐标的绝对值，所以可建立方程求出x的值即可；
（3）因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意；
（4）根据前面所求可得出点M是PP'的中点，从而过点M作x轴的平行线，与抛物线的交点即为所求．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，综合性较强，解答本题的难点在第三问，关键是根据点M是PP'的中点求解，难度较大．