Question

【题目】如图，已知：OB是∠AOE的平分线，OD是∠COE的平分线.

（1）若∠AOC＝ 90°，∠COE ＝30°，求∠BOD的度数；

（2）若（1）中的∠COE=α（α为锐角），其它条件不变，求∠BOD的度数；

（3）若（1）中的∠AOC=β，其它条件不变，求∠BOD的度数；

（4）从（1），（2），（3）的结果中猜想∠BOD与∠AOC的数量关系是________ ，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2) 45°；(3)β；(4) ∠BOD=∠AOC，理由见详解.

【解析】

（1）求出∠AOE，根据角平分线定义得出∠BOE=∠AOE，∠DOE=∠COE，代入求出∠BOE和∠DOE度数，根据∠BOD=∠BOE-∠DOE，代入求出即可；
（2）求出∠AOE，根据角平分线定义得出∠BOE=∠AOE，∠DOE=∠COE，代入求出∠BOE和∠DOE度数，根据∠BOD=∠BOE-∠DOE，代入求出即可；
（3）求出∠AOE，根据角平分线定义得出∠BOE=∠AOE，∠DOE=∠COE，代入求出∠BOE和∠DOE度数，根据∠BOD=∠BOE-∠DOE，代入求出即可；
（4）设∠AOC=α，∠COE=β，求出∠AOE，根据角平分线定义得出∠BOE=∠AOE，∠DOE=∠COE，代入求出∠BOE和∠DOE度数，根据∠BOD=∠BOE-∠DOE，代入求出即可．

(1)∵∠AOC=90°,∠COE=30°，

∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°，

∵OB是∠AOE的平分线，OD是∠COE的平分线，

∴∠BOE=∠AOE=60°,∠DOE=∠COE=15°，

∴∠BOD=∠BOE∠DOE=60°15°=45°

(2)∵∠AOC=60°，∠COE=α，

∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+α，

∵OB是∠AOE的平分线，OD是∠COE的平分线，

∴∠BOE=∠AOE= (90°+α),∠DOE=∠COE=α，

∴∠BOD=∠BOE∠DOE= (90°+α)α=45°

(3)∵∠AOC=β,∠COE=30°，

∴∠AOE=∠AOC+∠COE=β+30°，

∵OB是∠AOE的平分线，OD是∠COE的平分线，

∴∠BOE=∠AOE=(β+30°),∠DOE=∠COE=15°，

∴∠BOD=∠BOE∠DOE= (β+30°) 15°=β.

(4)∠BOD=∠AOC，

理由是：设∠AOC=α，∠COE=β，

则∠AOE=∠AOC+∠COE=α+β，

∵OB是∠AOE的平分线，OD是∠COE的平分线，

∴∠BOE=(α+β),∠DOE=∠COE=β，

∴∠BOD=∠BOE∠DOE= (α+β)β=α，

∵∠AOC=α，

∴∠BOD=∠AOC.