Question

（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成

1. A.
   a＜b＜c
2. B.
   （a-b）²+（b-c）²=0
3. C.
   c＜a＜b
4. D.
   a=b≠c

Answer 1

B
分析：先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x²+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]²，化简有ab+bc+ac=a²+b²+c²，那么就有（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a=b=c．故选答案B．
解答：原式=3x²+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，
∴3x²+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]²，
∴ab+bc+ac=（a+b+c）²=（a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc），
∴ab+bc+ac=a²+b²+c²，
∴2（ab+bc+ac）=2（a²+b²+c²），
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c．
故选B．
点评：本题考查了完全平方式、非负数的性质．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．