题目内容
在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD=CA，x=40，y=30时，则AB
=
=
AC（填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA”变为“CD=AB”，且x，y的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；
（3）若CD=CA=AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）
分析：（1）求出∠ADC，求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出∠C，得出∠C=∠B，即可得出答案；
（2）在BC上截取BE=BA，连接AE，求出∠BAE=∠AEB=70°，求出AD=AE，证△ADB和△AEC全等，即可得出答案；
（3）分为三种情况：当D在线段BC上时，y=90-
x（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）；
（ⅱ）当D在CB的延长线上时，y=
x-90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）；
（ⅲ）当D在BC的延长线上时，y=180-
x，（0＜x＜90）．
（2）在BC上截取BE=BA，连接AE，求出∠BAE=∠AEB=70°，求出AD=AE，证△ADB和△AEC全等，即可得出答案；
（3）分为三种情况：当D在线段BC上时，y=90-
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（ⅱ）当D在CB的延长线上时，y=
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（ⅲ）当D在BC的延长线上时，y=180-
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解答：（1）解：AB=AC，
理由是：∵∠ABC=40°，∠BAD=30°，
∴∠ADC=30°+40°=70°，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠ADC=70°，
∴∠C=180°-70°-70°=40°=∠ABC，
∴AB=AC，
故答案为：=．
（2）解：成立．
理由是：在BC上截取BE=BA，连接AE，
∵CD=AB，
∴BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，
即：BD=CE
∵∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA=70°，
在△ABD中，∠B=40°，∠BAD=30°
∴∠BDA=110°，∠ADE=70°，
∴∠ADE=∠BEA，∠AEC=110°
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．
（3）解：（ⅰ）当D在线段BC上时，y=90-
x（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）；
（ⅱ）当D在CB的延长线上时，y=
x-90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）；
（ⅲ）当D在BC的延长线上时，y=180-
x，（0＜x＜90）．
理由是：∵∠ABC=40°，∠BAD=30°，
∴∠ADC=30°+40°=70°，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠ADC=70°，
∴∠C=180°-70°-70°=40°=∠ABC，
∴AB=AC，
故答案为：=．
（2）解：成立．
理由是：在BC上截取BE=BA，连接AE，
∵CD=AB，
∴BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，
即：BD=CE
∵∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA=70°，
在△ABD中，∠B=40°，∠BAD=30°
∴∠BDA=110°，∠ADE=70°，
∴∠ADE=∠BEA，∠AEC=110°
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．
（3）解：（ⅰ）当D在线段BC上时，y=90-
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（ⅱ）当D在CB的延长线上时，y=
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（ⅲ）当D在BC的延长线上时，y=180-
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点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
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