Question

（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；
（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．
如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴

16a+4b=0 4a-2b=6

，解得

a= 1 2 b=-2

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x．

（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．
∵AD为切线，∴AC⊥AD，
∴AD∥OB．
过O点作OF⊥AD于F，
∴四边形OFAE是矩形，
∵tan∠AOB=

3

4

，∴sin∠AOB=

3

5

，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×

3

5

=2.4，
OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×

3

4

=3．
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．
过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，
OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=

OD2-OF2

=

32-2.42

=1.8，
∴t=1.8秒；

（3）如答图2，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），
此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．
∵tan∠AOB=

3

4

，∴直线OB的解析式为y=

3

4

x，
由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=

3

4

x+b．
∵点R既在直线l上，又在抛物线上，
∴

1

2

x²-2x=

3

4

x+b，化简得：2x²-11x-4b=0．
∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），
∴判别式△=0，即11²+32b=0，解得b=-

121

32

，
此时原方程的解为x=

11

4

，即x_R=

11

4

，
而y_R=

1

2

x_R²-2x_R=-

55

32

∴点R的坐标为R（

11

4

，-

55

32

）．

点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点．难点在于第（3）问，判定何时△ROB的面积最大是解决问题的关键．本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答．
本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨．