Question

已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
（1）四边形EPGQ______（填“是”或者“不是”）平行四边形；
（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；
（3）连接PQ，求3PQ²+OA²的值．

Answer 1

（1）是．
证明：连接OB，如图①，

∵BA⊥OM，BC⊥ON，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
∴AB∥OC，AB=OC，
∵E、G分别是AB、CO的中点，
∴AE∥GC，AE=GC，
∴四边形AECG为平行四边形．
∴CE∥AG，
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，
∴GF∥OB，DE∥OB，
∴PG∥EQ，
∴四边形EPGQ是平行四边形；

（2）解：如图②，

∵?EPGQ是矩形．
∴∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE，
∴=，
设OA=x，AB=y，则：=：x，
得y²=2x²，
又∵OA²+AB²=OB²，
即x²+y²=1²．
∴x²+2x²=1，
解得：x=．
即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为．

（3）解：如图③，连接GE交PQ于O′，

∵四边形EPGQ是平行四边形，
∴O′P=O′Q，O′G=0′E．
过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．
由△PCF∽△PEG得，===，
∴PA′=A′B′=AB，GA′=GE=OA，
∴A′O′=GE-GA′=OA，
在Rt△PA′O′中，PO′²=PA′²+A′O′²，
即=+，
又∵AB²+OA²=1，
∴3PQ²=AB²+，
∴OA²+3PQ²=OA²+（AB²+）=．
分析：（1）由BA⊥OM，BC⊥ON，∠AOC=90°，可判定四边形OABC是矩形，即可得AB∥OC，AB=OC，又由E、G分别是AB、CO的中点，即可得四边形AECG为平行四边形，连接OB，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，根据三角形中位线的性质，即可得PG∥EQ，即可判定四边形EPGQ是平行四边形；
（2）易得△AED∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得OA的长；
（3）连接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=0′E，然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′，由△PCF∽△PEG，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得3PQ²+OA²的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意准确作出辅助线，注意数形结合思想与方程思想的应用．