Question

已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）求点P的坐标；

（2）若P，A两点在抛物线y=-x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；

根据折叠的性质知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；

∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，

∴∠PCB=30°．

过P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；

∴OQ=AQ=，PQ=，

所以P（，）；

（2）将P、A代入抛物线的解析式中，得：

，

解得；

即y=-x²+x+1；

当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上．

（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，

∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，

把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1）

把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（，0）

∴M（，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；

②若DE是平行四边形的边，

过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，

∴DE=AN===2，

∵=，

∴∠EAN=30°，

∵∠DEA=∠EAN，

∴∠DEA=30°，

∴M（，0），N（0，-1）；

同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，

∴M（-，0），N（0，1）．