Question

设x、y、z是三个互不相等的数，且x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

，则xyz=

±1

．

Answer 1

分析：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=

y-z

x-y

，同理可得出zx=

z-x

y-z

，xy=

x-y

z-x

，三式相乘可得出xyz的值．

解答：解：由已知x+

1

y

=y+

1

z

=z+

1

x

，
得出x+

1

y

=y+

1

z

，
∴x-y=

1

z

-

1

y

=

y-z

zy

，
∴zy=

y-z

x-y

①
同理得出：
zx=

z-x

y-z

②，
xy=

x-y

z-x

③，
①×②×③得x²y²z²=1，即可得出xyz=±1．
故答案为：±1．

点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．