Question

如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）求∠B的度数．

Answer 1

考点：

切线的判定与性质；菱形的性质．

分析：

（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，

由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．

解答：

（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，

∵AB与⊙切于A点，

∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BA=BC，

在△ABC和△CBO中

，

∴△ABC≌△CBO，

∴∠BOC=∠OAC=90°，

∴OC⊥BC，

∴BC为⊙O的切线；

（2）解：∵△ABC≌△CBO，

∴∠AOB=∠COB，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD平分∠ABC，CB=CD，

∴点O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，

而OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，

∴∠OBC=∠ODC，

∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠OBC=30°，

∴∠ABC=2∠OBC=60°．

点评：

本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．