Question

如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图，当BP=BA时，∠EBF=

 

°，猜想∠QFC=

 

°；
（2）如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得∠QFC的度数；
（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF．

解答： 解：（1）∠EBF=30°；（1分）
∠QFC=60°；（2分）

（2）∠QFC=60°．                      （1分）
解法1：不妨设BP＞

3

AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．                        （2分）
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）                （3分）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．                             （4分）
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．             （5分）
（事实上当BP≤

3

AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）
解法2：设AP交QF于M∠QMP为△AMQ和△FMP共同的外角
∴∠QMP=∠Q+∠PAQ=∠APB+∠QFC，
由△ABP≌△AEQ得∠Q=∠APB，由旋转知∠PAQ=60°，
∴∠QFC=∠PAQ=60°．

点评：本题考查了等边三角形的性质，图形的旋转，与三角形的全等相结合，是一个比较难的题目．