Question

如图所示，在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n个圆共有多少个交点？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)在图中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出下表． 　　由表易知 　　S2－S1＝2，S3－S2＝3，S3－S3＝4，S5－S4＝5，…… 　　由此，不难推测Sn－Sn－1＝n． 　　把上面(n－1)个等式左、右两边分别相加，就得到 　　Sn－S1＝2＋3＋4＋…＋n， 　　因为S1＝2，所以 　　Sn＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋(1＋2＋3＋…＋n) 　　 　　这就证明了当n个圆过点P时，可把平面划分为个平面区域． 　　下面对Sn－Sn－1＝n，即Sn＝Sn－1＋n的正确性略作说明． 　　因为Sn－1为n－1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n－1个圆相交，所以这个圆就被前n－1个圆分成n部分，加在Sn－1上，所以有Sn＝Sn－1＋n． 　　(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出下表． 　　由表容易发现 　　a1＝1， 　　a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…… 　　an－1－an－2＝n－2，an－an－1＝n－1． 　　n个式子相加 　　 　　所以，当有满足条件的n个圆过P点时，这n个圆共有个交点．