Question

如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD=∠COB=60°，求证：CD+AD＞BC．

Answer 1

证明：如图，在OC上截取OE=OD，连接DE，BE，
∵∠EOD=180°-∠AOD-∠COB=180°-60°-60°=60°，
∴△DOE是等边三角形，
又∵O为AB中点，
∴OA=OB，
在△AOD与△BOE中，，
∴△AOD≌△BOE（SAS），
∴AD=BE，
在△DEC中，∠CED=180°-60°=120°，
∴∠CED＞∠CDE，
∴CD＞CE，
∴AD+CD＞BE+CE＞BC，
即CD+AD＞BC．
分析：在OC上截取OE=OD，可以证明△ODE是等边三角形，然后利用边角边定理证明△AOD与△BOE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，再根据同一个三角形中大角对大边可得CD＞CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边即可证明．
点评：本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，同一个三角形中大角对大边的性质，作辅助线构造出等边三角形以及全等三角形是解题的关键．