Question

如图，已知△ABC的面积是4

3

的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于

3-

3

（结果保留根号）．

Answer 1

分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FH⊥AE，过C作CM⊥AB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积．

解答：解：作CM⊥AB于M，
∵等边△ABC的面积是4

3

，
∴设BM=x，∴tan∠BCM=

BM

CM

=

3

3

，
∴BM=

3

3

CM，
∴

1

2

×CM×AB=

1

2

×2×

3

3

CM²=4

3

，
∴CM=2

3

，BM=2，
∴AB=4，AD=

1

2

AB=2，
在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，
则∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
设AH=HF=x，则EH=xtan30°=

3

3

x．
又∵AH+EH=AE=AD=2，
∴x+

3

3

x=2，
解得x=3-

3

．
∴S_△AEF=

1

2

×2×（3-

3

）=3-

3

．
故答案为：3-

3

．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．