Question

（2013•本溪三模）如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点O出发，沿线段“OA→AB→BC“以每秒1个单位长度的速度匀速运动到C．当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．

Answer 1

分析：（1）已知四边形OABC是矩形，证明△CDE≌△AOE推出OE²+OA²=（AD-DE）²求出OE．
（2）本题要借助辅助线的帮助，证明△DGE≌△AOE．根据线段比求出DG，EG以及点D的坐标．列出解析式求出a，b的值．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把顶点坐标代入求出k，b．证明△AMH∽△AOC推出m的值．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）EC=8-3=5，过D作DG⊥EC于G，（如图1）
∴△DGE∽△AOE．
∴OA：DG=OE：EG=AE：DE，即4：DG=3：EG=5：DE，
∴EG=

9

5

，GD=

12

5

，
∴OG=OE+EG=3+

9

5

=

24

5

∴D（

24

5

，-

12

5

），
∵因O点为坐标原点，C（8，0），
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax²+bx．
∴

64a+8b=0 ( 24 5 )2a+ 24 5 b=- 12 5

，
解之，得

a= 5 32 b=- 5 4

，
∴y=

5

32

x²-

5

4

x；
（3）∵抛物线的对称轴为x=4，
∴其顶点坐标为（4，-

5

2

），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

8k+b=0 b=4

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴y=-

1

2

x+4，
设直线FP交直线AC于H（m，-

1

2

m+4），过H作HM⊥OA于M（如图2）．
∴△AMH∽△AOC．
∴HM：OC=AH：AC．
∵S_△FAH：S_△FHC=1：3或3：1，
∴AH：HC=1：3或3：1，
∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H₁（2，3），H₂（6，1）．
直线FH₁的解析式为y=-

11

4

x+

17

2

，当y=4时，x=

18

11

，4+

18

11

=

62

11

秒；
直线FH₂的解析式为y=

7

4

x-

19

2

，当y=4时，x=

54

7

，4+

54

7

=

82

7

秒；
∴当t=

62

11

秒或

82

7

秒秒时，
直线FP把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及翻折变换的性质和全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出D点坐标是解题关键．