Question

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．
（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

⑴解： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12

          ∴  AB＝13．   

∵  Q是BC的中点．

∴  CQ＝QB．

又∵  PQ∥AC．

∴  AP＝PB，即P是AB的中点．                        

∴  Rt△ABC中，．                      

⑵解：当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．                              

以CQ为直径作半圆D．

①当半圆D与AB相切时，设切点为M，

连结DM，则

DM⊥AB，且AC＝AM＝5．

∴  MB＝AB－AM＝13－5＝8．

设CD＝x，则DM＝x，DB＝12－x．

在Rt△DMB中，DB²＝DM²＋MB²．

即   (12－x) ²＝x ²＋8²．

解之得：∴　CQ＝ 即当CQ且点P运动到切点M位置时,

△CPQ为直角三角形.   8分②当＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形．        9分

③当0＜CQ＜时，半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时,均

在半圆D外，∠CPQ＜90°．此时△CPQ不可能为直角三角形．      

∴　当≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．