Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若AC=2，AB-AD=2，求sin∠BCE的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥ED，
∴OC⊥DE，
∵OC为半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC=90°=∠ACB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，
∴AC²=AD•AB．

（3）解：设AD=x，则AB=x+2，
∵AC²=AD•AB．，
∴（2）²=x（x+2），整理得x²+2x-24=0，
解得x₁=4，x₂=-6（舍），
∴AD=4，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∴cos∠BCE=cos∠DAC===．
分析：（1）连接OC，根据已知推出∠DAC=∠BAC=∠OCA，推出OC∥AD，推出OC⊥ED，根据切线判定推出即可；
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可得出答案；
（3）根据AC²=AD•AB求出AD长，求出∠DAC=∠BCE，在Rt△DAC中，解直角三角形求出即可．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．