题目内容

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AB=2 $数学公式$ ，DC=4，则AD的长为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，由AD与BC垂直，得到三角形ABD与三角形ACD都为直角三角形，可得出一对直角相等，在直角三角形ABD中，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，再由直角三角形ABC的两锐角互余得到另一对角互余，根据同角的余角相等可得出一对角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ABD与三角形ACD相似，由相似得比例列出比例式，设AD为x，在直角三角形ABD中，由AB及AD，利用勾股定理表示出BD，将DC，BD及AD代入比例式中，列出关于x的方程，求出方程的解得出x的值，即为AD的长．
解答：根据题意画出相应的图形，如图所示：

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
又∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD，
∴AD²=BD•DC，
设AD=x，在Rt△ABD中，AD=x，AB=2 $\text{[math]}$ ，
根据勾股定理得：BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又BD=4，
∴x²=4 $\text{[math]}$ ，
两边平方得：x⁴=16（12-x²），即x⁴+16x²-192=0，
因式分解得：（x²+24）（x²-8）=0，
可得：x²=-24（舍去），x²=8，
解得：x=2 $\text{[math]}$ ，或x=-2 $\text{[math]}$ （舍去），
则CD=2 $\text{[math]}$ ．
故答案为：2 $\text{[math]}$
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及垂直的定义，利用了转化的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．