Question

已知△ABC中AB=AC，BC=8，其外接圆半径为5，则△ABC的周长为（　　）

• A．8+4

  5

• B．8+8

  5

• C．8+4

  5

  或8+8

  5

• D．以上都不对

Answer 1

分析：根据题意画出图形，由于△ABC的形状不能确定，故应分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解答：解：当△ABC是锐角三角形时，如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O在直线AD上，
∵AB=AC，BC=8，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵OB=5，
∴在Rt△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

52-42

=3，
∴AD=OA+OD=5+3=8，
在Rt△ABD中，
AB=

AD2+BD2

=

82+42

=4

5

，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4

5

+4

5

+8=8+8

5

；
当△ABC是锐角三角形时，如图2所示，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O在直线AD上，
∵AB=AC，BC=8，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵OB=5，
∴在Rt△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

52-42

=3，
∴AD=OA-OD=5-3=2，
在Rt△ABD中，
AB=

AD2+BD2

=

22+42

=2

5

，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2

5

+2

5

+8=8+4

5

．
∴△ABC的周长为：8+4

5

或8+8

5

．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．