Question

如图，已知△ABC中，有一内接菱形ADEF，连接BF交DE于G点，AB=6，AC=4，
（1）图中与△BDE相似的三角形有

 

；
（2）求图中菱形的边长；
（3）求EG的长．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质及相似三角形的判定方法可得到，与△BDE相似的三角形有△BAC，△EFC；
（2）设菱形ADEF的边长为x，已证△BDE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得菱形的边长；
（3）根据相似三角形的判定证明△BGE∽△BFC，再根据三角形的对应边对应成比例即可求得EG的长．

解答：解：（1）∵四边形ADEF是菱形．
∴DE∥AF．
∴∠BDE=∠A．
∵∠ABC=∠DBE．
∴△BDE∽△BAC．
∵四边形ADEF是菱形．
∴DE∥AC，AB∥EF．
∴∠BDE=∠A=∠EFC，∠BED=∠C．
∴△BDE∽△EFC．
∴与△BDE相似的三角形有△BAC，△EFC．

（2）∵△BDE∽△BAC．
∴

DE

CA

=

BD

BA

．
设菱形ADEF的边长为x，则有

x

4

=

6-x

6

．
解之得，x=2.4．
∴菱形边长为2.4．

（3）∵四边形ADEF是菱形．
∴AC∥DE．
∴∠BGE=∠BFC．
∵∠GBE=∠FBC．
∴△BGE∽△BFC．
∴

EG

CF

=

BE

BC

．
同理可得：

BE

BC

=

BD

BA

．
∴

EG

CF

=

BD

BA

．
∴

EG

1.6

=

3.6

6

．
∴EG=0.96．

点评：此题综合考查相似三角形的判定及性质和菱形性质的运用．