Question

不等于0的三个数a、b、c满足

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数．

Answer 1

分析：直接通分，将分式等式转化为整式等式，再因式分解得到（b+c）（a+b）（a+c）=0，可知其中至少有一个因式为0．

解答：证明：∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

∴

ac+bc+ab

abc

=

1

a+b+c

bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc
∴（b+c）a²+（2bc+c²+b²）a+bc²+b²c=0
即（a²b+ab²）+（a²c+ac²）+（abc+bc²）+（abc+b²c）=0，
ab（a+b）+ac（a+c）+bc（a+c）+bc（a+b）=0，
（a+b）（ab+bc）+（a+c）（ac+bc）=0，
b（a+b）（a+c）+c（a+c）（a+b）=0，
∴（b+c）（a+b）（a+c）=0
∴b=-c或a=-b或a=-c．
即a、b、c中至少有两个互为相反数．

点评：本题考查了分式加减运算的运用，先通分，去分母，将分式等式转化为整式等式，再运用因式分解的知识解题．