题目内容
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-| m-1 |
| 4 |
| 5m |
| 4 |
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点A运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
分析：（1）由抛物线y=-
x2+
x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O，令x=0，y=0，解得m的值，点B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t．
| m-1 |
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| 5m |
| 4 |
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t．
解答：解：（1）∵抛物线y=-
x2+
x+m2-3m+2经过原点，
∴m2-3m+2=0，
解得m1=1，m2=2，
由题意知m≠1，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x，
∵点B（2，n）在抛物线y=-
x2+
x上，
∴n=4，
∴B点的坐标为（2，4）．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，
求得直线OB的解析式为y=2x，
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），
则E点的坐标为（a，2a），
根据题意作等腰直角三角形PCD，
如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），
由C点在抛物线上，
得：2a=-
?（3a）2+
?3a，
即
a2-
a=0，
解得a1=
，a2=0（舍去），
∴OP=
．
依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，
由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=-
x+5，
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．
如图2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．
∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，
∴t=
．
第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图3所示．可证△PQM为等腰直角三
角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．
∴OQ=10-2t，
∵F点在直线AB上，
∴FQ=t，
∴MQ=2t，
∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，
∴t=2．
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示．此时OP、
AQ的长可依次表示为t、2t个单位．
∴t+2t=10，
∴t=
．
综上，符合题意的t值分别为
，2，
| m-1 |
| 4 |
| 5m |
| 4 |
∴m2-3m+2=0，
解得m1=1，m2=2，
由题意知m≠1，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=-
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| 5 |
| 2 |
∵点B（2，n）在抛物线y=-
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
∴n=4，
∴B点的坐标为（2，4）．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，
求得直线OB的解析式为y=2x，
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），
则E点的坐标为（a，2a），
根据题意作等腰直角三角形PCD，
如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），
由C点在抛物线上，
得：2a=-
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| 2 |
即
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| 4 |
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| 2 |
解得a1=
| 22 |
| 9 |
∴OP=
| 22 |
| 9 |
依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，
由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．
如图2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．
∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，
∴t=
| 10 |
| 7 |
第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图3所示．可证△PQM为等腰直角三
角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．
∴OQ=10-2t，
∵F点在直线AB上，
∴FQ=t，
∴MQ=2t，
∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，
∴t=2．
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示．此时OP、
AQ的长可依次表示为t、2t个单位．
∴t+2t=10，
∴t=
| 10 |
| 3 |
综上，符合题意的t值分别为
| 10 |
| 7 |
| 10 |
| 3 |
点评：本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐，做题多加用心．
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