Question

【题目】如图，抛物线交轴与点和，交轴于点，抛物线的顶点为，下列四个命题：

①当时，；

②若，则；

③抛物线上有两点和，若，且，则；

④点关于抛物线对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．

其中真命题的序号是（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；
②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；
③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；
④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．

①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x=-,当a=-1时，有，解得b=3，故本选项错误；

③∵x1+x2＞2，

∴>1,

又∵x1-1＜0＜x2-1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；
则DE=;D′E′=,

∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误．

故选：C．