Question

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为       ；
（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为       。

Answer 1

（1）a
（2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和为，正方形ABCD的面积为，∴。
（3）

（1）由△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形可知△AER，△BFS，△CGT，△DHW也是全等的等腰直角三角形，从而得新的正方形的边长FR=FA＋AR=FA＋AE=FA＋BF=a。
（2）由正方形ABCD的面积等于△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和可知。
（3）如图，延长DP交BC于点H，

由可求得等边△RPQ的边长。
设等边△ABC的边长为a，AD=BE=CF=x，则BD=CE=。
由等边三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，得
DH=，BH=，EH=，
PH=，DR=EP=。
由DH=DR＋RP＋PH得：，
解得，即AD的长为。