Question

探索研究：
通过对一次函数、反比例函数的学习．我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函效的经验，探索的数y=x+

1

x

（x＞0）的图象和性质．
（1）填写下表，画出函数的图象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

（2）观察图象，写出函数两条不同类型的性质：
①

函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；

；
②

当x=1时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

．
知识运用：
一般函数y=x+

a

x

（x＞0，a＞0）也有类似的结论．请利用上面探究函数性质的方法解决下列问题：
己知一个矩形的面积是4．设矩形的一边长为x．它的周长为y．求y与x的函数关系式，井求出：当x取何值时．矩形的周长最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）把x的值代入解析式计算即可；
（2）根据图象所反映的特点写出即可；
（3）根据完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，进行配方成y=2（

x

-

2 x

）²+4

2

即可求出答案．

解答：解：（1）填表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

（函数y=x+

1

x

的图象如图：

（2）①答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；②当x=1时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．
知识运用：∵设矩形的一边长为x．它的周长为y．
∴矩形的另一边为

y-2x

2

，
∵矩形的面积是4，
∴

y-2x

2

•x=4
∴y=2x+

4

x

=2（x+

2

x

）
=2[（

x

）²+(

2 x

)2-2

x

•

2 x

+2

x

•

2 x

]
=2（

x

-

2 x

）²+4

2

∴当

x

=

2 x

时，即x=

2

时，周长有最小值4

2

．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了描点法画函数的图象的方法，二次函数最值的运用．反比例函数的图象性质的运用．