Question

【题目】如图，正方形的边长为分别是边上的动点，和交于点．

如图(1)，若为边的中点，， 求的长；

如图(2)，若点在上从向运动，点在．上从向运动．两点同时出发，同时到达各自终点，求在运动过程中，点运动的路径长：

如图(3)， 若分别是边上的中点，与交于点，求的正切值．

Answer 1

【答案】；；

【解析】

（1）延长BF、CD交于点H，根据勾股定理求出AE，证明△AFB∽△DFH，根据相似三角形的性质求出DH，再证明△AGB∽△EGH，最后根据相似三角形的性质计算即可；

（2）取AB的中点O，连接OG，证明△BAF≌△ADE，再确定∠AGB=90°，再根据直角三角形的性质求出OG，最后运用弧长公式计算即可；

（3）作FQ⊥BD于Q，设正方形的边长为2a，再用a表示出BQ、FQ，最后根据正切的定义即可解答．

解：（1）如图，延长BF、CD交于点H

∵E为边CD的中点

∴DE=DC=3

由勾股定理可得，

∵四边形ABCD为正方形

∴AB∥CD

∴△AFB∽△DFH

∴

∵AB=6，

∴DH=3，EH=6

∵AB//CD

∴△AGB∽△EGH，

∴

∴ ；

（2）如图：

取AB的中点O，连接OG，

由题意可得，AF=DE

在△BAF和△ADE中

BA=AD， ∠BAF=∠ADE，AF=DE

∴△BAF≌△ADE（SAS）

∴∠ABF= ∠DAE

∵∠BAG+ ∠DAE=90°

∴∠BAG+ ∠ABG=90°，即∠AGB=90°

∵点O是AB的中点，

∴OG=AB=3

当点E与点C重合、点F与得D重合时，∠AOG=90°

∴点G运动的路径长为：；

（3）如图，作FQ⊥BD于Q，设正方形的边长为2a

∵点F是边AD上的中点

∴AF=DF=a，

∵四边形ABCD为正方形

∴，∠ADB=45°

∴

∴

∴．