Question

在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和抛物线y=ax²在第一象限交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S₁，S₂，S₃，…，S_n，那么S₁=________；S₁+S₂+S₃+…+S_n=________．

Answer 1

4    2n（n+1）
分析：把a=1和x=2代入抛物线解析式求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
表示出S₁，S₂，S₃，…，S_n，然后相加，再利用求和公式列式计算即可得解．
解答：解：a=1，x=2时，y₁=1×2²=4，
△AOB的面积为S₁=×2×4=4，
∵S₁=4，
S₂=×2×（2×2²）=2×4，
S₃=×2×（3×2²）=3×4，
…，
S_n=×2×（n×2²）=4n，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=4+2×4+3×4+…+4n=4×（1+2+3+…+n）=2n（n+1）．
故答案为：4，2n（n+1）．
点评：本题考查了二次根式的性质，主要利用了抛物线上点的坐标特征，求出点A的纵坐标并求出△AOB的面积等于4的倍数是解题的关键，也是本题的难点．