Question

【题目】如图，已知四边形和四边形为正方形，点在线段上，点在同一直线上，连接，并延长交于点．

（1）求证：．

（2）若，，求线段的长．

（3）设，，当点H是线段GC的中点时，则与满足什么样的关系式.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3） （ ）.

【解析】

（1）先证明△GDC≌△EDA，得∠GCD=∠EAD，推出AH⊥GC；

（2）根据S△AGC=AGDC=GCAH，即可解决问题；

（3）根据垂直平分线的性质可得结论.

（1）在△GDC和△EDA中，

，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠GCD=∠EAD，

∵∠HEC=∠DEA，

∴∠EHC=∠EDA=90°，

∴AH⊥GC；

（2）∵AD=3，DE=1，

∴GC=AE=，

∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，

∴∠DCG+∠HEC=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AH⊥GC，

∵S△AGC=AGDC=GCAH，

∴×4×3=××AH，

∴AH=．

（3）由（1）得，AH即GC的中垂线

∴AG=AC （中垂线的性质定理）

∴ （ ）